Готман А.Ш. Специальные разделы математической физики и основы математического анализа: учебное пособие для аспирантов./А.Ш. Готман. - Новосибирск: Новосиб. гос. акад. вод. трансп., 2014

 
Настоящее учебное пособие предназначено для аспирантов, студентов - стажёров и преподавателей НГАВТ и составлено по опыту изучения математической физики и других специальных разделов высшей математики в школе-семинаре при кафедре ТУК с 2005 года по 2013 - 2014 учебный год. Пособие может быть полезным для изучения технической литературы по специальностям, связанным с проектированием судов и судовождения.

Рецензенты:
Владимиров Ю.Н. – зав. кафедрой высшей математики Новосибирского государственного университета экономики управления, канд. физ.-мат. наук, доцент;
Ботвинков В.М. – зав. кафедрой водных путей, гидравлики и гидроэкологии (ВП,ГиГСЭ) Новосибирской государственной академии водного транспорта

Часть 1.  Специальные  разделы  математической  физики
Введение                                     …………………………………………………………………………………  3
Глава 1. Выводы основных уравнений  математической  физики        …………………………  5
§ 1. Вывод уравнений колебаний 	         ……………………………………………………………………………………………  5
  Задача 1. Уравнение колебаний струны          …………………………………………………………………………  5
  Задача 2. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах …………………………………  6
  Задача 3. Вывод уравнения колебаний мембраны    ……………………………………………………………………  8
§ 2. Уравнение теплопроводности          ……………………………………………………………………………………………  14
  Задача 4. Уравнение распространения тепла в стержне         ……………………………………  14
§ 3. Уравнение неразрывности           …………………………………………………………………………………………………  16
  Задача 5. Вывод уравнения Лапласа         ……………………………………………………………………………………  16
§ 4. Постановка краевой задачи          ………………………………………………………………………………………………  19
  Задача 6. Движение тела на свободной поверхности жидкости       …………………………  19
Глава 2. Дифференциальные уравнения математической физики          ………………………  21
§ 5. Дифференциальные уравнения с частными производными 2-го порядка    …………  22
Глава 3. Метод фурье                               …………………………………………………………………  27
§ 6. Дифференциальное уравнение с однородными граничными условиями    ………………  27
§ 7. Задача Штурма – Лиувилля                       ………………………………………………………………  27
§ 8. Решение неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных …  29
  Приложение А  Вывод формулы (89)           …………………………………………………………………………………  30
Глава 4. Применение преобразований Фурье         ………………………………………………………………………  36
§ 9. Интегральная формула Фурье            ………………………………………………………………………………………  36
  Основные свойства преобразования Фурье         ………………………………………………………………………  37
§ 10. Кратные преобразования Фурье                     ………………………………………………………  38
  Некоторые приложения преобразований Фурье                    …………………………………  38
Глава 5. Функция Грина                           ………………………………………………………………………  43
§11. Вывод формулы Грина                           …………………………………………………………………  43
Глава 6. Гармонические  функции и их свойства            …………………………………………………  47
§ 12. Гармонические функции                         ………………………………………………………………  47
  1.  Гармоническая функция двух независимых переменных         ………………………………  51
§ 13. Основные свойства гармонических функций                ………………………………………  52

§ 14. Свойства объёмных потенциалов         ……………………………………………………………………………………  55
  1. Объёмный потенциал в физическом пространстве    ……………………………………………………………  55
  2. Первые производные объёмного потенциала      ……………………………………………………………………  56
  3. Вторые производные объёмного интеграла        …………………………………………………………………  59
  4. Вычисление интеграла (4.14)                …………………………………………………………………………  62
  5. Вычисление несобственных интегралов         ………………………………………………………………………  63
  6. Признаки сходимости несобственных интегралов       ……………………………………………………  65
§ 15. Поверхностные потенциалы	                 ………………………………………………………………………  68
  1. Потенциал простого слоя                   ……………………………………………………………………………  68
  2. Потенциал двойного слоя                   ……………………………………………………………………………  69
  3. Разрыв потенциала двойного слоя           ……………………………………………………………………………  72
  4. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач     ………………  77
§ 16. Плоская задача Неймана                       …………………………………………………………………  78
§ 17. Метод Даламбера                           …………………………………………………………………………  82
      Геометрический смысл выражения                     …………………………………………………  84
§ 18. Энергия электростатического поля                 ………………………………………………………  85
Литература                                   …………………………………………………………………………………  88

Часть  2. Основы  математического  анализа
Введение                                    ……………………………………………………………………………………  90
Определение функции (по Лобачевскому)                      ……………………………………………  91
§ 1. Предел функции                            ……………………………………………………………………………  91
  1. Предел функции в точке (по Коши)                     ………………………………………………  91
  2. Предел функции на бесконечности                      ………………………………………………  92
  3. Первый замечательный предел  			……………………………………………………  93
  4. Второй замечательный предел			……………………………………………………  94
  5. Теорема о связи предела и бесконечно малой функции  	………………………………  95
§ 2. Непрерывность функции в точке  			……………………………………………………  97
  1. Первое определение непрерывности   		……………………………………………………  97
  2. Определение приращения функции   			……………………………………………………  97
  3.  Второе определение непрерывности 			……………………………………………………  97
  4. Третье определение непрерывности функции в точке 	……………………………………………………  97
  5.  Виды нарушения непрерывности функции в точке	……………………………………………………  98
Глава 1.  Дифференцирование 				……………………………………………………  98
§ 1. Вывод основных формул дифференцирования		……………………………………………………  98
  Общее правило дифференцирования			……………………………………………………  98
  Вывод основных производных				……………………………………………………  98
  Метод логарифмического дифференцирования		…………………………………………………  100
  Дифференцирование тригонометрических функций		…………………………………………………  101
  Дифференцирование обратных функций			…………………………………………………  102
§ 2 Дифференциал функции			………………………………………………………………………  105
Глава 2. Основные понятия интегрального исчисления	…………………………………………………  106
§ 1. Первообразная функция			………………………………………………………………………  106
§ 2. Понятие неопределённого интеграла		………………………………………………………………………  107
§ 3. Основные методы интегрирования			…………………………………………………  107
  1. Метод замены переменной				…………………………………………………  108
  2. Интегрирование выражений, содержащих в знаменателе
     непосредственно или под корнем квадратный трёхчлен		……………………………  108
  3. Интегрирование тригонометрических дифференциалов  		……………………………  109
  4. Интегрирование по частям   			…………………………………………………  111
  5. Интегрирование иррациональных функций		…………………………………………………  113
  6. Интегрирование некоторых иррациональных		…………………………………………………  113
     функций с помощью тригонометрических подстановок	…………………………………………………  113
  7. Интегрирование рациональных функций, содержащих	…………………………………………………  115
  8. Интегрирование рациональных дробей			…………………………………………………  115
     1. Разложение дробей на простейшие			…………………………………………………  116
        Способы определения неизвестных коэффициентов	…………………………………………………  116
Глава 3. Определённый интеграл			 	…………………………………………………  119
§ 1. Определение определённого интеграла		…………………………………………………  119
  1. Задача, приводящая к понятию определённого интеграла	……………………………  119
  2. Условия существования определённого интеграла		……………………………  120
  3. Основные свойства определённого интеграла		…………………………………………………  120
  4. Интеграл с переменным верхним пределом		…………………………………………………  122
  5. Формула Ньютона – Лейбница				…………………………………………………  122
  6. Замена переменных в определённом интеграле		…………………………………………………  123
  7. Интегрирование по частям определённого интеграла	…………………………………………………  124
§ 2. Несобственные интегралы			………………………………………………………………………  124
  1. Несобственные интегралы I-го рода		………………………………………………………………………  124
  2. Признаки сходимости несобственных интегралов	…………………………………………………  125
  3. Несобственный интеграл  II -го рода от разрывной функции	……………………………  126
§ 3. Вычисление двукратных интегралов			…………………………………………………  12§
§ 4. Вычисление трёхкратных интегралов		………………………………………………………………………  127
§ 5. Применение определённых интегралов		………………………………………………………………………  127
§ 6. Криволинейные интегралы и их вычисление	………………………………………………………………………  129
  Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования ………  131
§ 7. Интеграл по параметру			………………………………………………………………………  134
Глава 4. Теория поля				………………………………………………………………………  136
§ 1. Оператор Гамильтона			………………………………………………………………………  136
§ 2. Скалярное поле				………………………………………………………………………  139
§ 3. Векторное поле				………………………………………………………………………  141
  1. Поток вектора				………………………………………………………………………  141
  2. Циркуляция вектора				………………………………………………………………………  144
§ 4. Теоремы Грина и Стокса			………………………………………………………………………  144
§ 5. Типовые задачи теории поля			………………………………………………………………………  150
  1. Потенциальное поле				………………………………………………………………………  155
  2. Поле потенциального вектора		………………………………………………………………………  157
  3. Плоская задача. Логарифмический потенциал		…………………………………………………  158

Глава 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения	…………………………………………………  162
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка  …………………………………………  162
§ 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися  переменными  ………………………………  164
§ 3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка		……………………………  164
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка		……………………………  166
     Метод Коши решения линейных дифференциальных уравнений	……………………………  167
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков	……………………………  168
  1. Линейные однородные дифференциальные уравнения		……………………………  169
  2. Неоднородные линейные уравнения высших порядков		……………………………  173
     Метод вариации произвольных постоянных			……………………………  173
§ 6. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 174
§ 7. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го
     порядков с постоянными коэффициентами		…………………………………………………  175
Глава 6. Ряды				……………………………………………………………………………………………  181
§ 1. Числовые ряды			……………………………………………………………………………………………  181
  1.  Необходимый признак сходимости	……………………………………………………………………………………………  182
  2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов	…………………………………………………  182
     1) Первый достаточный признак сходимости		…………………………………………………  182
     2) Второй достаточный признак сходимости		…………………………………………………  184
     3) Третий достаточный признак сходимости		…………………………………………………  184
     4) Четвёртый достаточный признак сходимости	…………………………………………………  184
     5) Сходимость знакопеременных рядов		…………………………………………………  185
     6) Признак сходимости знакочередующихся рядов	…………………………………………………  186
§ 2. Функциональные ряды			………………………………………………………………………  186
  1. Ряды Тейлора и Маклорена			………………………………………………………………………  187
  2. Ряды Маклорена			……………………………………………………………………………………………  188
  3. Биномиальный ряд			……………………………………………………………………………………………  189
§ 3. Ряды Фурье				……………………………………………………………………………………………  190
  1. Определение коэффициентов ряда Фурье	………………………………………………………………………  191
  2. Разложение в промежутке			………………………………………………………………………  192
  3. Разложение периодических функций на интервале длиной     …………………………………  194
§ 4. Интеграл Фурье				………………………………………………………………………  196
  1. Интеграл Фурье в комплексной форме			…………………………………………………  198
  2. Получение преобразования Фурье			…………………………………………………  199
  3. Основные формулы преобразований Фурье		…………………………………………………  199

Глава 7. Элементы линейной алгебры			…………………………………………………  200
§ 1. Матрицы и действия с ними			………………………………………………………………………  200
     Алгебра матриц   				………………………………………………………………………  200
§ 2. Определители				………………………………………………………………………  201
     Вычисление обратной матрицы   			…………………………………………………  202
§ 3. Решение и исследование систем  линейных уравнений  …………………………………………………  202
  1. Основные методы решения систем линейных уравнений	…………………………………………………  202
    1) Метод Крамера				………………………………………………………………………  203
    2) Матричный метод				………………………………………………………………………  203
    3) Метод Гаусса				………………………………………………………………………  204
  2. Исследование систем уравнений			…………………………………………………  205
  3. Примеры исследования и решения систем линейных уравнений  ………………………………  205
Глава 8. Элементы  векторной алгебры			…………………………………………………  210
§ 1. Алгебра векторов   			………………………………………………………………………  210
§ 2. Скалярное произведение			………………………………………………………………………  210
§ 3. Векторное произведение двух векторов	………………………………………………………………………  213
§ 4. Смешанное произведение трёх векторов	………………………………………………………………………  214
Глава 9. Элементы аналитической геометрии	………………………………………………………………………  215
§1. Аналитическая геометрия на плоскости	………………………………………………………………………  215
  1. Прямая на плоскости			………………………………………………………………………  215
    1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом		…………………………………………………  216
    2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку 
       в заданном направлении 					……………………………  216
    3) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	……………………………  216
    4) Уравнение прямой «в отрезках» на осях  		…………………………………………………  216
    5) Нормальное уравнение прямой			…………………………………………………  217
    6) Анализ уравнений прямой    			…………………………………………………  217
    7) Взаимное положение двух прямых			…………………………………………………  218
    8) Условие параллельности двух прямых		…………………………………………………  218
    9) Условие перпендикулярности двух прямых		…………………………………………………  219
§ 2. Аналитическая геометрия в пространстве		…………………………………………………  219
  1. Плоскость					………………………………………………………………………  219
    1) Уравнение плоскости с заданной нормалью и точкой   	……………………………  219
    2) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ……………………………  220
    3) Нормальное уравнение плоскости			…………………………………………………  220
    4) Общее уравнение плоскости			…………………………………………………  220
    5) Анализ общего уравнения плоскости		…………………………………………………  221
    6) Взаимное положение двух плоскостей		…………………………………………………  222
  2. Прямая в пространстве			………………………………………………………………………  222
    1) Угол между двумя прямыми			………………………………………………………………………  223
    2) Угол между прямой и плоскостью		………………………………………………………………………  223
  3. Пространственная кривая			………………………………………………………………………  224
    1) Способы задания пространственных кривых	………………………………………………………………………  224
    2) Уравнение касательной прямой		………………………………………………………………………  224
    3) Уравнение нормальной плоскости  		………………………………………………………………………  224
  5. Кривые второго порядка (конические сечения)  	…………………………………………………  225
    1) Вывод уравнения окружности			…………………………………………………  225
    2) Вывод уравнения эллипса    		………………………………………………………………………  225
    3) Вывод уравнения гиперболы		………………………………………………………………………  226
    4) Вывод уравнения параболы			………………………………………………………………………  226
§ 3. Коэффициенты Ламе				………………………………………………………………………  227
    1) Смысл коэффициентов Ламе			………………………………………………………………………  228 
    2) Вывод дифференциалов элемента длины дуги, элемента
       площади и элемента объёма		………………………………………………………………………  229
    3) Вывод коэффициентов Ламе в цилиндрических и сферических координатах … 229
Приложение 1. Таблицы
  Таблица 1. Основные системы координат		………………………………………………………………………  231
  Таблица 2. Производные 			………………………………………………………………………  231
  Таблица 3. Неопределённые интегралы		………………………………………………………………………  232
  Таблица 4.Определённые интегралы 		………………………………………………………………………  233
  Таблица 5. Формулы Стокса, Остроградского – Гаусса и Грина ……………………………………  235
  Таблица 6. Основные характеристики скалярного поля
             в разных системах координат	………………………………………………………………………  236
Приложение 2. Логарифмы
  Свойства логарифмов  				………………………………………………………………………  236
  График логарифмической функции  		………………………………………………………………………  237
Литература 					………………………………………………………………………  237